23 Cách chứng minh đường trung trực, tính chất đường trung trực mới nhất

Cách chứng minh đường trung trực, tính chất đường trung trực

Những điều cần biết về đường trung trực

Đường trung trực là một đường nằm trong tam giác. Nó có liên hệ với nhiều đường khác như trung tuyến, đường cao,… Chứng minh đường trung trực là một dạng toán giúp học sinh hiểu rõ hơn về tính chất, ứng dụng của loại đường này trong bài tập. Dưới đây là một số những điều cần biết về đường này.

Thông báo:  Giáo án, tài liệu miễn phí, và các giải đáp sự cố khi dạy online có tại Nhóm giáo viên 4.0 mọi người tham gia để tải tài liệu, giáo án, và kinh nghiệm giáo dục nhé!

 

Đường trung trực của một cạnh được định nghĩa là đường đi qua trung điểm và vuông góc với cạnh đó tại trung điểm của nó. Như vậy, trong tam giác ta sẽ có 3 đường trung trực ứng với 3 cạnh của tam giác.

Về tính chất, tất cả các điểm trên đường trung trực đều cách đều 2 đầu mút của cạnh tương ứng. Như vậy, nếu trong tam giác thì trung trực sẽ cách đều 3 đỉnh. Vậy, điểm giao giữa 3 đường trung trực của 1 tam giác chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Hay điểm đó gọi là trực tâm.

Có thể bạn quan tâm:  Trọng tâm tam giác là gì? Tính chất ba đường trung tuyến

Các cách chứng minh đường trung trực

Với dạng toán chứng minh đường trung trực, học sinh rất hay gặp trong chương trình cơ bản hình học Toán 7. Nó cũng có cả trong chương trình nâng cao với nhiều dạng toán hay và thú vị. Trong phần này chúng tôi sẽ liệt kê những cách để chứng minh chúng như sau. Nếu muốn chứng tỏ đường thẳng d là trung trực của đoạn thẳng AB ta có:

  • Chứng minh d vuông góc với AB tại trung điểm của AB
  • Chứng minh có 2 điểm trên d cách đều 2 điểm A và B
  • Vận dụng tính chất đường cao, đường trung tuyến trong tam giác cân
  • Vận dụng tính chất đối xứng qua trục của 2 điểm A và B
  • Sử dụng tính chất nối tâm của hai điểm nằm trong đường tròn

Đây là 5 cách chứng minh cơ bản được sử dụng để giải quyết bài toán chứng minh. Các bạn hãy tham khảo tài liệu của chúng tôi để có thêm nhiều thông tin nhé!

Bài tập ví dụ về đường trung trực

Ví dụ 1

Cho hình bình hành ABCD có H, K lần lượt là các chân đường cao kẻ từ đỉnh A, C xuống BD. Chứng minh AHCK là hình bình hành

Bài giải

Ta có ABCD là hình bình hành

Suy ra AD = BC và AB = CD

Suy ra tam giác ABD = tam giác CDB (chung cạnh BD)

Suy ra AH = CK (Hai cạnh tương ứng bằng nhau)  (1)

Ta lại có AH và CK cùng vuông góc với BD

Có thể bạn quan tâm:  Số hữu tỉ, số hữu tỉ dương, số hữu thực, số hữu tỉ nghịch đảo, số vô tỉ

Suy ra AH và CK song song với nhau (2)

Từ (1) và (2) suy ra AH và CK vừa song song vừa bằng nhau

Suy ra AHCK là hình bình hành (đpcm)

Ví dụ 2

Cho góc xOy bằng 60, điểm M nằm trong góc xOy. Vẽ điểm N sao cho Ox là đường trung trực của MN. Vẽ điểm P sao cho Oy là đường trung trực của MP.

a, Chứng minh rằng ON = OP

b, Tính số đo của góc NOP

Bài giải

a,

Ta có Ox là đường trung trực của MN

Suy ra tam giác MON cân tại O

Suy ra ON = OM (1)

Ta lại có Oy là đường trung trực của MP

Suy ra tam giác MOP cân tại O

Suy ra OP = OM (2)

Từ (1) và (2), ta có: ON = OP (điều phải chứng minh)

b,

Gọi giao của Ox với MN là I và giao của Oy với MP là J

Ta có tam giác MON cân tại O và có OI là đường trung trực

Suy ra MOI = NOI

Tương tự ta có tam giác MOP cân tại O và có OJ là đường trung trực

Suy ra MOJ = POJ

Ta lại có góc xOy = 60 hay góc IOJ = 60

Mà góc IOJ = góc IOM + góc MOJ

Suy ra góc NOP = MOI + NOI + MOJ + POJ = 2IOJ = 120

Tải tài liệu miễn phí ở đây

Sưu tầm: Trần Thị Nhung