25 Công thức số phức và ví dụ áp dụng mới nhất

Công thức số phức: Phép cộng trừ nhân chia số phức, công thức số phức lượng giác…

Công thức cộng, trừ và nhân hai số phức

Cho hai số phức {z_1} = a + bi,,,{z_2} = c + di,(a,b,c,d in mathbb{R}), ta có:

z_1+z_2=(a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i
z_1-z_2=(a + bi) - ( c + di) = (a - c) + (b - d)i
z_1.z_2=(a + bi)( c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Nhận xét

Phép cộng và phép nhân số phức được thực hiện tương tự như đối với số thực, với chú ý i^2=-1.
Với mọi z,z'inmathbb{C}:
z + overline z = 2a (với z = a + bi)
=  + ‘
z.overline z = {left| z right|^2} = {left| {overline z } right|^2}
left| {z.z'} right| = left| z right|.left| {z'} right|
left| {z + z'} right| le left| z right| + left| {z'} right|

Phép chia hai số phức

Cho hai số phức {z_1} = a + bi,,,{z_2} = c + di,(a,b,c,d in mathbb{R}), ta có:

frac{{c + di}}{{a + bi}} = frac{{left( {c + di} right)(a - bi)}}{{{a^2} + {b^2}}} = frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i

(Nhân cả tử và mẫu với a - bi(số phức liên hợp của mẫu)).

Chú ý
Với số phức zne0 ta có:

Số phức nghịch đảo của z{z^{ - 1}} = frac{1}{{{{left| z right|}^2}}}overline z .
Thương của z' chia cho zfrac{{z'}}{z} = z'.{z^{ - 1}} = frac{{z'.overline z }}{{{{left| z right|}^2}}} = frac{{z'.overline z }}{{z.overline z }}.

Công thức số phức lượng giác

Để viết số phức z = a + bi,(a,b in R) dưới dạng lượng giác z = r(c{rm{os}}varphi + isin varphi ), trước hết ta biến đổi: z = sqrt {{a^2} + {b^2}} (frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }} + frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}i).
Như vậy: r = sqrt {{a^2} + {b^2}}. Đặt c{rm{os}}varphi = frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}sin varphi = frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.
Từ đó suy ra varphi1 acgumen của z.

Các công thức biến đổi lượng giác cần lưu ý

1 + c{rm{os}}varphi + isin varphi = 2{cos ^2}frac{varphi }{2} + 2isin frac{varphi }{2}c{rm{os}}frac{varphi }{2} = 2cos frac{varphi }{2}left[ {c{rm{os}}frac{varphi }{2} + i sin frac{varphi }{2}} right].
1 + itan varphi = 1 + ifrac{{sin varphi }}{{c{rm{os}}varphi }} = frac{1}{{c{rm{os}}varphi }}(c{rm{os}}varphi + i sin varphi ).

Ví dụ áp dụng công thức số phức

Ví dụ 1:
Cho số phức frac{{sqrt 3 }}{2} - frac{1}{2}i. Tìm các số phức sau overline zz^2{left( {overline z } right)^3}1+z+z^2.

Lời giải:
z = frac{{sqrt 3 }}{2} - frac{1}{2}i Rightarrow overline z = frac{{sqrt 3 }}{2} + frac{1}{2}i
{z^2} = {left( {frac{{sqrt 3 }}{2} - frac{1}{2}i} right)^2} = frac{3}{4} + frac{1}{4}{i^2} - frac{{sqrt 3 }}{2}i = frac{1}{2} - frac{{sqrt 3 }}{2}i
Rightarrow {left( {overline z } right)^2} = {left( {frac{{sqrt 3 }}{2} + frac{1}{2}i} right)^2} \= frac{3}{4} + frac{1}{4}{i^2} + frac{{sqrt 3 }}{2}i = frac{1}{2} + frac{{sqrt 3 }}{2}i

{left( {overline z } right)^3} = {left( {overline z } right)^2}.overline z = left( {frac{1}{2} + frac{{sqrt 3 }}{2}i} right)left( {frac{{sqrt 3 }}{2} + frac{1}{2}i} right) \= frac{{sqrt 3 }}{4} + frac{1}{2}i + frac{3}{4}i - frac{{sqrt 3 }}{4} = i
1 + z + {z^2} = 1 + frac{{sqrt 3 }}{2} - frac{1}{2}i + frac{1}{2} - frac{{sqrt 3 }}{2}i \= frac{{3 + sqrt 3 }}{2} - frac{{1 + sqrt 3 }}{2}i

Ví dụ 2:
Tìm phần thực, phần ảo và tính mô đun của số phức z biết: overline z = {left( {sqrt 2 + i} right)^2}left( {1 - isqrt 2 } right).

Lời giải:
Ta có:

begin{array}{l} overline z = {left( {sqrt 2 + i} right)^2}left( {1 - isqrt 2 } right) \= left( {2 + {i^2} + 2isqrt 2 } right)left( {1 - isqrt 2 } right) = 5 + isqrt 2 \ Rightarrow z = 5 - isqrt 2 end{array}

Vậy z có phần thực bằng 5; phần ảo bằng -sqrt2.

Môđun: left| z right| = sqrt {{5^2} + {{left( { - sqrt 2 } right)}^2}} = 3sqrt 3 .

Ví dụ 3:
Tìm số phức z biết (2z - i)(1 + i) + (overline z + 1)(1 - i) = 2 - 2i.

Lời giải:
Cho z=a+bi (a,binmathbb{R}) suy ra overline z = a - bi, từ giải thiết bài toán ta có:

(2a + 2bi - 1)(1 + i) + (a - bi + 1)(1 - i) = 2 - 2i

Leftrightarrow 3a - 3b + (a + b - 2)i = 2 - 2i

Leftrightarrow left{ begin{array}{l} 3a - 3b = 2\ a + b - 2 = - 2 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} a = frac{1}{3}\ b = frac{{ - 1}}{3} end{array} right.

Vậy z=frac{1}{3}-frac{1}{3}i.

Ví dụ 4:
Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa left| {z - 1 + i} right|=2.

Lời giải:
Đặt z=x+yi (x,yinmathbb{R}) ta có: z - 1 + i = (x - 1) + (y + 1)i

left| {z - 1 + i} right|=2 suy ra: sqrt {{{(x - 1)}^2} + {{(y + 1)}^2}} = 2 Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} = 4

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(1;-1), bán kính R=2.

Ví dụ 5:
Tìm số phức liên hợp của số phức: z = (1 + i)(3 - 2i) + frac{1}{{3 + i}}.

Lời giải:
Ta có: z = 5 + i + frac{{3 - i}}{{(3 + i)(3 - i)}} = 5 + i + frac{{3 - i}}{{10}}=frac{53}{10}+frac{9}{10}i

Suy ra số phức liên hợp của số phức z là: overline z = frac{{53}}{{10}} - frac{9}{{10}}i.

Ví dụ 6:
Tìm môđun của số phức z = frac{{(1 + i)(2 - i)}}{{1 + 2i}}.

Lời giải:
Ta có:z = frac{{(1 + i)(2 - i)}}{{1 + 2i}} = frac{{3 + i}}{{1 + 2i}} = frac{{left( {3 + i} right)left( {1 - 2i} right)}}{{left( {1 + 2i} right)left( {1 - 2i} right)}} = frac{{5 + i}}{5} = 1 + frac{1}{5}i.

Vậy môđun của số phức z là: left| z right| = sqrt {1 + {{left( {frac{1}{5}} right)}^2}} = frac{{sqrt {26} }}{5}.

Ví dụ 7:
Tìm phần thực, phần ảo và tính môđun của số phức z thỏa: {left( {1 + i} right)^2}left( {2 - i} right)z = 8 + i + left( {1 + 2i} right)z.

Lời giải:
{left( {1 + i} right)^2}left( {2 - i} right)z = 8 + i + left( {1 + 2i} right)z

Leftrightarrow z = frac{{8 + i}}{{1 + 2i}} = frac{{left( {8 + i} right)left( {1 - 2i} right)}}{{left( {1 + 2i} right)left( {1 - 2i} right)}} = frac{{10 - 15i}}{5} = 2 - 3i.

Vậy z có phần thực bằng 2, phần ảo bằng -3, môđun left| z right| = sqrt {{2^2} + {{left( { - 3} right)}^2}} = sqrt {13} .

Ví dụ 8:
Tìm số phức z thỏa: frac{{(overline z - 1).(2 - i)}}{{overline z + 2i}} = frac{{3 + i}}{2}

Lời giải:
Điều kiện: overline z ne -2i hay zne 2i

Khi đó:  frac{{(overline z - 1).(2 - i)}}{{overline z + 2i}} = frac{{3 + i}}{2}Leftrightarrow 2(overline z - 1)(2 - i) = (3 + i)(overline z + 2i)

Leftrightarrow (overline z - 1)(4 - 2i) = 3overline z + 6i + iz + 2{i^2}

Leftrightarrow (1 - 3i)overline z = 2i + 4

Leftrightarrow overline z = frac{{2i + 4}}{{1 - 3i}} = frac{{(2i + 4)(1 + 3i)}}{{10}} = frac{{ - 1}}{5} + frac{7}{5}i

Rightarrow z = frac{{ - 1}}{5} - frac{7}{5}i.

Ví dụ 9:
Tính số phức sau: z={left( {frac{{1 + i}}{{1 - i}}} right)^{16}} + {left( {frac{{1 - i}}{{1 + i}}} right)^8}.

Lời giải:
Ta có:  frac{{1 + i}}{{1 - i}} = frac{{(1 + i)(1 + i)}}{2} = frac{{2i}}{2} = iRightarrow frac{{1 - i}}{{1 + i}} = frac{1}{i} = - i.

Vậy: {left( {frac{{1 + i}}{{1 - i}}} right)^{16}} + {left( {frac{{1 - i}}{{1 + i}}} right)^8} = {i^{16}} + {( - i)^8} \= {({i^2})^8} + {left( {{{left( { - i} right)}^2}} right)^4} = 1 + 1 = 2.

Ví dụ 10: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a. 5.
b. -3.
c. 7i.
d. -2i.

a. 5 = 5left( {1 + 0i} right) = 5left( {cos 0 + isin 0} right).
b. - 3 = 3left( { - 1 + 0i} right) = 3left( {{rm{cos}}pi {rm{ + sin}}pi {rm{i}}} right).
c. 7i = 7left( {0 + i} right) = 7left( {cos frac{pi }{2} + isin frac{pi }{2}} right).
d. - 2i = 2left( {0 - i} right) = 2left( {cos left( { - frac{pi }{2}} right) + isin left( { - frac{pi }{2}} right)} right).

Ví dụ 11: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a. 1 - isqrt 3.
b. sqrt 3 - isqrt 3 .
c. frac{1}{3} + frac{{sqrt 3 }}{3}i.
d. frac{{7sqrt 3 }}{3} - 7i.

a. 1 - isqrt 3 = 2left( {frac{1}{2} - ifrac{{sqrt 3 }}{2}} right) = 2left[ {cos left( { - frac{pi }{3}} right) + isin left( { - frac{pi }{3}} right)} right].
b. sqrt 3 - isqrt 3 = sqrt 3 left( {1 - i} right) = sqrt 6 left( {frac{1}{{sqrt 2 }} - frac{i}{{sqrt 2 }}} right) = sqrt 6 left[ {cos left( { - frac{pi }{4}} right) + isin left( { - frac{pi }{4}} right)} right].
c. frac{1}{3} + frac{{sqrt 3 }}{3}i = frac{2}{3}left( {frac{1}{2} + ifrac{{sqrt 3 }}{2}} right) = frac{2}{3}left( {cos frac{pi }{3} + isin frac{pi }{3}} right).
d. frac{{7sqrt 3 }}{3} - 7i = frac{{7sqrt 3 }}{3}left( {1 - isqrt 3 } right) = frac{{14sqrt 3 }}{3}left( {frac{1}{2} - ifrac{{sqrt 3 }}{2}} right) = frac{{14sqrt 3 }}{3}left[ {cos left( { - frac{pi }{3}} right) + isin left( { - frac{pi }{3}} right)} right].

Ví dụ 12: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a. left( {1 + 3i} right)left( {1 + 2i} right).
b. left( {1 + i} right)left[ {1 + left( {sqrt 3 - 2} right)i} right].
c. left( {sqrt 2 - 2i} right).left[ {sqrt 2 + left( {3sqrt 2 - 4} right)i} right].

a. left( {1 + 3i} right)left( {1 + 2i} right) = 1 + 6{i^2} + 3i + 2i = - 5 + 5i = 5left( { - 1 + i} right)
= 5sqrt 2 left( { - frac{1}{{sqrt 2 }} + ifrac{1}{{sqrt 2 }}} right) = 5sqrt 2 left( {cos frac{{3pi }}{4} + isin frac{{3pi }}{4}} right).
b. left( {1 + i} right)left[ {1 + left( {sqrt 3 - 2} right)i} right] = 1 - left( {sqrt 3 - 2} right) + left( {sqrt 3 - 2 + 1} right)i
= 3 - sqrt 3 + left( {sqrt 3 - 1} right)i = sqrt 3 left( {sqrt 3 - 1} right) + left( {sqrt 3 - 1} right)i
= left( {sqrt 3 - 1} right)left( {sqrt 3 + i} right) = 2left( {sqrt 3 - 1} right)left( {frac{{sqrt 3 }}{2} + frac{1}{2}i} right) = 2left( {sqrt 3 - 2} right)left( {cos frac{pi }{6} + isin frac{pi }{6}} right).
c. left( {sqrt 2 - 2i} right).left[ {sqrt 2 + left( {3sqrt 2 - 4} right)i} right] = left( {2 + 6sqrt 2 - 8} right) + left( {6 - 4sqrt 2 - 2sqrt 2 } right)i
= left( {6sqrt 2 - 6} right) + left( {6 - 6sqrt 2 } right)i = left( {6sqrt 2 - 6} right)left( {1 - i} right)
= sqrt 2 left( {6sqrt 2 - 6} right)left( {frac{1}{{sqrt 2 }} - frac{1}{{sqrt 2 }}i} right) = left( {12 - 6sqrt 2 } right)left[ {cos left( { - frac{pi }{4}} right) + isin left( { - frac{pi }{4}} right)} right].

Ví dụ 13: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a. frac{1}{{2 + 2i}}.
b. frac{{3 - i}}{{1 - 2i}}.
c. frac{{1 - isqrt 3 }}{{1 + i}}.

a. Ta có:
frac{1}{{2 + 2i}} = frac{1}{{2left( {1 + i} right)}} = frac{{sqrt 2 }}{{4left( {cos frac{pi }{4} + isin frac{pi }{4}} right)}} = frac{{sqrt 2 }}{4}left[ {cos left( { - frac{pi }{4}} right) + isin left( { - frac{pi }{4}} right)} right].
b. frac{{3 - i}}{{1 - 2i}} = frac{{left( {3 - i} right)left( {1 + 2i} right)}}{{left( {1 - 2i} right)left( {1 + 2i} right)}} = frac{{3 + 2 + 6i - i}}{{1 - {{left( {2i} right)}^2}}} = frac{{5 + 5i}}{{1 + 4}} = 1 + i
= sqrt 2 left( {frac{1}{{sqrt 2 }} + frac{1}{{sqrt 2 }}i} right) = sqrt 2 left( {cos frac{pi }{4} + isin frac{pi }{4}} right).
c. frac{{1 - isqrt 3 }}{{1 + i}} = frac{2}{{sqrt 2 }}left[ {cos left( { - frac{pi }{3} - frac{pi }{4}} right) + isin left( { - frac{pi }{3} - frac{pi }{4}} right)} right] = sqrt 2 left[ {cos left( {frac{{ - 7pi }}{{12}}} right) + isin left( {frac{{ - 7pi }}{{12}}} right)} right].

Ví dụ 14: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a. 1 + frac{i}{{sqrt 3 }}.
b. 1 + sqrt 3 + left( {1 - sqrt 3 } right)i.

a. Ta có:
1 + frac{i}{{sqrt 3 }} = 1 + itan frac{pi }{6} = 1 + ifrac{{sin frac{pi }{6}}}{{cos frac{pi }{6}}} = frac{1}{{cos frac{pi }{6}}}left( {cos frac{pi }{6} + isin frac{pi }{6}} right) = frac{2}{{sqrt 3 }}left( {cos frac{pi }{6} + isin frac{pi }{6}} right).
b. 1 + sqrt 3 + left( {1 - sqrt 3 } right)i = 1 + tan frac{pi }{3} + left( {1 - tan frac{pi }{3}} right)i = 1 + frac{{sin frac{pi }{3}}}{{cos frac{pi }{3}}} + left( {1 - frac{{sin frac{pi }{3}}}{{cos frac{pi }{3}}}} right)i
= frac{1}{{cos frac{pi }{3}}}left( {cos frac{pi }{3} + sin frac{pi }{3}} right) + frac{1}{{cos frac{pi }{3}}}left( {cos frac{pi }{3} + isin frac{pi }{3}} right)i = frac{1}{{cos frac{pi }{3}}}left( {cos frac{pi }{3} + sin frac{pi }{3}} right) - frac{1}{{cos frac{pi }{3}}}left( {sin frac{pi }{3} - cos frac{pi }{3}} right)i
= frac{1}{{cos frac{pi }{3}}}sqrt 2 cos left( {frac{pi }{3} - frac{pi }{4}} right) - frac{1}{{cos frac{pi }{3}}}sqrt 2 sin left( {frac{pi }{3} - frac{pi }{4}} right).i
= 2sqrt 2 left( {cos frac{pi }{{12}} - isin frac{pi }{{12}}} right) = 2sqrt 2 left[ {cos left( { - frac{pi }{{12}}} right) + isin left( { - frac{pi }{{12}}} right)} right].
Cách khác:
1 + sqrt 3 + left( {1 - sqrt 3 } right)i = left( {1 + sqrt 3 } right)left( {1 + frac{{1 - sqrt 3 }}{{1 + sqrt 3 }}i} right) = left( {1 + sqrt 3 } right)left( {1 + frac{{tan frac{pi }{4} - tan frac{pi }{3}}}{{1 + tan frac{pi }{4}.tan frac{pi }{3}}}i} right)
= left( {1 + sqrt 3 } right)left[ {1 + itan left( {frac{pi }{4} - frac{pi }{3}} right)} right] = left( {1 + sqrt 3 } right)left[ {1 + itan left( { - frac{pi }{{12}}} right)} right]
= left( {1 + sqrt 3 } right)left[ {1 + ifrac{{sin left( { - frac{pi }{{12}}} right)}}{{cos left( { - frac{pi }{{12}}} right)}}} right] = frac{{1 + sqrt 3 }}{{cos frac{pi }{{12}}}}left[ {cos left( { - frac{pi }{{12}}} right) + isin left( { - frac{pi }{{12}}} right)} right].
cos frac{pi }{{12}} = cos left( {frac{pi }{3} - frac{pi }{4}} right) = cos frac{pi }{3}.cos frac{pi }{4} + sin frac{pi }{3}.sin frac{pi }{4} = frac{1}{{2sqrt 2 }} + frac{{sqrt 3 }}{{2sqrt 2 }} = frac{{1 + sqrt 3 }}{{2sqrt 2 }}.
Do đó: 1 + sqrt 3 + left( {1 - sqrt 3 } right).i = frac{{1 + sqrt 3 }}{{cos frac{pi }{{12}}}}left[ {cos left( { - frac{pi }{{12}}} right) + isin left( { - frac{pi }{{12}}} right)} right] = 2sqrt 2 left[ {cos left( { - frac{pi }{{12}}} right) + isin left( { - frac{pi }{{12}}} right)} right].
Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!