25 Công thức tích phân – Một số phương pháp tính tích phân mới nhất

Công thức tích phân: Công thức tích phân cơ bản, công thức tích phân từng phần, tính chất của tích phân, ứng dụng của tích phân…

Định nghĩa tích phân

Cho hàm f(x) liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì hiệu số F(b)-F(a) được gọi là tích phân của f(x) từ a đến b và ký hiệu là intlimits_a^b {f(x)dx} .

Tính chất của tích phân – Công thức tích phân

Cho các hàm số f(x),,g(x) liên tục trên K và a,b,c là ba số thuộc K.

,intlimits_a^a {f(x)dx = 0}
intlimits_a^b {f(x)dx = - intlimits_b^a {f(x)dx} }
intlimits_a^b {f(x)dx = intlimits_a^c {f(x)dx} + intlimits_c^b {f(x)dx} }
intlimits_a^b {k.f(x)dx = kintlimits_a^b {f(x)dx} }
intlimits_a^b {[f(x) pm g(x)]dx = intlimits_a^b {f(x)dx} pm intlimits_a^b {g(x)dx} }

Một số phương pháp tính tích phân

Phương pháp đổi biến số

Công thức đổi biến số intlimits_a^b {f[u(x)]u'(x)dx = intlimits_{u(a)}^{u(b)} {f(u)du} }. Trong đó f(x) là hàm số liên tục và u(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng J sao cho hàm hợp f[u(x)] xác định trên J; a,,b in J.

Các phương pháp đổi biến số thường gặp:

Cách 1: Đặt u = u(x) (u là một hàm theo x).
Cách 2: Đặt x=x(t) (x là một hàm theo t).

Phương pháp tích phân từng phần

Định lí:

Nếu u(x),,v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng K và a,b là hai số thuộc K thì intlimits_a^b {u(x)v'(x)dx} = left. {u(x)v(x)} right|_a^b - intlimits_a^b {v(x)u'(x)dx}.

Bài tập minh họa áp dụng công thức tích phân

Ví dụ 1:
Áp dụng công thức tính tích phân cơ bản, tính các tích phân sau:

a)  I = intlimits_1^2 {frac{{{x^2} - 2x}}{{{x^3}}}dx}

b)  I = intlimits_0^{frac{pi }{4}} {{{cos }^2}xdx}

Lời giải:
a) I = intlimits_1^2 {frac{{{x^2} - 2x}}{{{x^3}}}dx} = intlimits_1^2 {left( {frac{1}{x} - frac{2}{{{x^2}}}} right)dx} = left. {left( {ln left| x right| + frac{2}{x}} right)} right|_1^2

= left( {ln 2 + 1} right) - left( {ln 1 + 2} right) = - 1 + ln 2

b) I = intlimits_0^{frac{pi }{4}} {{{cos }^2}xdx = } intlimits_0^{frac{pi }{4}} {(1 + cos 2x)dx = } left. {frac{1}{2}(x + frac{1}{2}sin2x)} right|_0^{frac{pi }{4}} = frac{{pi + 2}}{8}

Ví dụ 2:
Áp dụng phương pháp đổi biến số, tính các tích phân sau:

a) intlimits_0^3 {frac{x}{{1 + sqrt {1 + x} }}} dx

b) I = intlimits_0^2 {{x^3}sqrt {{x^2} + 1} dx}

c) I = intlimits_0^1 {frac{{dx}}{{sqrt {4 - {x^2}} }}}

Lời giải:
a) Đặt: t = sqrt {1 + x} Rightarrow {t^2} = 1 + x Rightarrow 2tdt = dx

Đổi cận x = 0 Rightarrow t = 1;x = 3 Rightarrow t = 2

begin{array}{l} intlimits_0^3 {frac{x}{{1 + sqrt {1 + x} }}dx = intlimits_1^2 {frac{{{t^2} - 1}}{{t + 1}}} } 2tdt = intlimits_1^2 {2t(t - 1)dt} \ = left. {left( {frac{2}{3}{t^3} - {t^2}} right)} right|_1^2 = frac{5}{3} end{array}

b) Đặt: t = sqrt {{x^2} + 1} Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} = {t^2} - 1}\ {xdx = tdt} end{array}} right.

Đổi cận: left{ {begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\ {x = 2} end{array}} right. Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {t = 1}\ {t = sqrt 5 } end{array}} right.

Vậy: I = intlimits_1^{sqrt 5 } {left( {{t^2} - 1} right)t.tdt} = left( {frac{{{t^5}}}{5} - frac{{{t^3}}}{3}} right)left| {begin{array}{*{20}{c}} {sqrt 5 }\ 1 end{array} = frac{2}{{15}} + frac{{10sqrt 5 }}{3}} right.

c) Đặt x = 2sin t với t in left[ { - frac{pi }{2};frac{pi }{2}} right] Rightarrow dx = 2cos tdt

Đổi cận: x = 0 Rightarrow t = 0;x = 1 Rightarrow t = frac{pi }{6}

Vậy: intlimits_0^1 {frac{{dx}}{{sqrt {4 - {x^2}} }} = intlimits_0^{frac{pi }{6}} {frac{{2cos tdt}}{{sqrt {4 - 4{{sin }^2}t} }} = } } intlimits_0^{frac{pi }{6}} {frac{{2cos tdt}}{{2cos t}} = } intlimits_0^{frac{pi }{6}} {dt} = tleft| {begin{array}{*{20}{c}} {frac{pi }{6}}\ 0 end{array}} right. = frac{pi }{6}

Ví dụ 3:
Vận dụng phương pháp tính tích phân từng phân, tính các tích phân sau:

a) I = intlimits_0^1 {x.{e^{2x}}dx}

b) I = intlimits_1^2 {({x^2} - 1)ln xdx}

Lời giải:
a) Đặt: left{ {begin{array}{*{20}{c}} {u = x}\ {dv = {e^{2x}}dx} end{array}} right. Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {du = dx}\ {v = frac{{{e^{2x}}}}{2}} end{array}} right.

I = left. {frac{{x{e^{2x}}}}{2}} right|_0^1 - intlimits_0^1 {frac{{{e^{2x}}}}{2}dx} = left. {frac{{{e^2}}}{2} - frac{{{e^{2x}}}}{4}} right|_0^1 = frac{{{e^2} + 1}}{4}.

b) Đặt: left{ {begin{array}{*{20}{c}} {u = ln x}\ {dv = left( {{x^2} - 1} right)dx} end{array} Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {du = frac{{dx}}{x}}\ {v = frac{{{x^3} - 3x}}{3}} end{array}} right.} right.

I = left. {frac{{left( {{x^3} - 3x} right)ln x}}{3}} right|_1^2 - intlimits_1^2 {frac{{{x^2} - 3}}{3}} dx = frac{{2ln 2}}{3} - left. {left( {frac{{{x^3}}}{9} - x} right)} right|_1^2= frac{{2ln 2}}{3} + frac{2}{9}.
Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!